电磁学学习笔记(二)

静电场中的导体

当一个导体位于静电场中时,通常会导致导体的带电情况变化,导体若是达到静电平衡状态,那么该导体的电荷分布便是有迹可循的,并且根据这些分布关系,与该导体有关的的场强等也将容易获得。

均匀导体

均匀导体的内部场强处处为 0 ,注意这指的是导体内部的总场强,由于外部电场会因电荷感应使导体两端带上不同的电荷,因此会产生一个与原外部电场反向的场强将外部电场而使得均匀导体内部场强为 0 。

正因如此,均匀导体应是一个等势体,导体表面是一个等势面。

于此同时,导体内部是没有电荷的,电荷仅分布在导体表面。

导体壳(腔内无带电体)

那么如果是内部带有空腔(空腔内部没有其他带电体)的导体壳,情况该如何呢?研究这个空腔,可以证明得空腔的表面(也就是导体壳的内表面)是不带电荷的,空腔内也没有任何电场线穿过,同时也没有任何电场、电势差。这也就意味着空腔不会受任何外部电场的影响。

导体壳(腔内有带电体)

如果空腔内部有一个带电体 q ,为了维持静电平衡,空腔的表面(也就是导体壳的内表面)必然带电 -q ,这样在导体内部取高斯面就能够得到场强为 0 了。空腔中带电体周围的场强可以使用高斯定理求得,可以认为整个空腔就是一个独立的系统。

这种情况也是试题最喜欢搞的地方。如果把这个系统上的三个面(内部带电体表面、导体壳内表面、导体壳外表面)任意一个接地会发生什么呢?如果连续套娃,将不同的面组合接地又会发生什么呢?

主要规则有如下这些:

  • 接地的导体外表面所带电量为 0 ,内表面带电量不变,电势为零
  • 导体内表面所带电荷始终等于负的总内部电荷
  • 将一个或多个导体表面等效为中心点电荷(内表面和外表面分别等效为独立点电荷)
  • 导体的带电量为内表面带电量和外表面带电量之和

静电能

静电相互作用能

W_{互}=\frac{1}{2}\sum^{n}_{i=1}q_{i}U_{i}

其实就是总的电势能。

电容

电容总是可以使用以下公式进行计算:

C=\frac{q}{U}

U 总是可以通过高斯定理 + 电势求法求得。

孤立导体球的电容

没错,孤立导体也可以拥有电容。

C=\frac{q}{U}=\frac{q}{\frac{q}{4\pi \varepsilon_{0}R}}=4\pi \varepsilon_{0}R

平行板电容器的电容

C=\frac{q}{U}=\frac{q}{Ed}=\frac{q}{\frac{qd}{\varepsilon_0S}}=\frac{\varepsilon_0 S}{d}

虽然还有其他各种电容器,但是它们都非常少见,因此就不列举了,它们都可以通过公式很容易地被计算出来。

电容器储存的电能

这个问题需要反向来思考,电容器储存的电能,其实就是将电荷从负极板搬运到正极板所需要做的功,而这个功其实就是电荷电势能的改变,而这个电势能的改变,在这个动态过程的每个时刻在数值上就等于电容公式中出现的 U 。

W=\int^Q_0u\,dq=\int^Q_0\frac{q}{C}\,dq=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}QU

电容器的串联与并联

电容器的串联与并联跟电阻的串联与并联规律较为相似。

串联
C=\sum C_i
并联
\frac{1}{C}=\sum \frac{1}{C_i}

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