热学学习笔记(二)

麦克斯韦速率分布

麦克斯韦速率分布曲线通过概率统计的方式表现了所有分子的运动状态。由此分布规律,可以计算出在特定速率区间内运动的分子占比。速率分布表达式如下:

f(v)\,dv=4\pi(\frac{m}{2\pi kT})^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{mv^{2}}{2kT}}v^{2}\,dv

值得注意的是这里f(v)没有什么特殊的物理意义,只有当其乘上dv才有意义。

在f(v)上特殊点——即函数值最大的点,这个点所对应的自变量即为最概然速率,在以这个速率附近运动的气体分子数占比最大。前面已经提到过,我们可以计算出这个速率:

v_{p}=\sqrt{\frac{2kT}{m}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}

除此之外,前面提到的平均速率、方均根速率,都可以通过麦克斯韦速率分布来求解,例如:

\overline{v}=\int^{\infty}_{0}vf(v)\,dv=\int^{\infty}_{0}4\pi(\frac{m}{2\pi kT})^{\frac{3}{2}}v^{3}e^{-\frac{mv^{2}}{2kT}}\,dv=4\pi(\frac{m}{2\pi kT})^{\frac{3}{2}}\frac{1}{2}(\frac{2kT}{m})^{2}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}
\sqrt{\overline{v^{2}}}=\sqrt{\int^{\infty}_{0}v^{2}f(v)\,dv}=\sqrt{\int^{\infty}_{0}4\pi(\frac{m}{2\pi kT})^{\frac{3}{2}}v^{4}e^{-\frac{mv^{2}}{2kT}}\,dv}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}

对于这三种速度,比较两种不同温度或不同分子质量的气体分布曲线时常用到最概然速率,在计算分子平均自由程、气体分子碰壁数及气体分子之间的碰撞频率时常用到平均速率,在计算分子平均动能时常用到方均根速率。

麦克斯韦速度分布

\frac{\,dN(v_{x},v_{y},v_{z})}{N}=f(v_x)\,dv_{x}f(v_y)\,dv_{y}f(v_z)\,dv_{z}
f(v_i)\,dv_{I}=(\frac{m}{2\pi kT})^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{mv^{2}_{i}}{2kT}}\,dv_{i}

相对于最概然速率 vp 的速率分布

通过最概然速率 vp 的辅助,我们可以很轻松地计算出从 0 至指定 v (小于vp)范围内分子数的占比。

u=\frac{v}{v_{p}}
\frac{\,dN_{u}}{N}=\frac{4}{\sqrt{\pi}}e^{-u^{2}}u^{2}\,du
\frac{\Delta N(0-v)}{N}=\int^{v}_{0}\frac{\,dN_{u}}{N}=\rm{erf}(u)-\frac{2}{\sqrt{\pi}}ue^{-u^{2}}

相对于最概然速率 vp 的速度分布

u_{x}=\frac{v_{x}}{v_{p}}
\frac{\,dN(u_{x})}{N}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-u^{2}_{x}}\,du_{x}
\frac{\Delta N(0-v_{x})}{N}=\int^{v_{x}}_{0}\frac{\,dN(v_{x})}{N}=\frac{1}{2}\rm{erf}(u_{x})

气体分子碰壁数

我们首先要清楚满足什么样条件的分子会碰撞到容器壁上。

拥有碰壁效果的分子需要满足以下条件:

  • vx 应大于 0
  • 应在 dt 时间间隔正好到达面 dA

我们将整个容器空间分割成无数无限小的空间,对于每一个无限小的空间,只有拥有一个确定速度的分子可以正好在 dt 时间到达无限小的器壁 dA 。由于两个无限小的参与,这就易于解决了。

\,dN^{\prime}(v_{x},v_{y},v_{z})=nf(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}v_{x}\,dt\,dA

最终我们就可以得到气体分子碰壁数:

\Gamma=\frac{1}{4}n\overline{v}=\frac{p}{\sqrt{2\pi mkT}}
气体压强公式

有了气体分子碰壁数,就可以很方便地得到气体压强公式:

p=\frac{nm\overline{v^{2}}}{3}

注意到这里的特殊结构,气体压强公式还能写成:

p=\frac{2}{3}n\overline{\epsilon_{k}}
热分子压差

一个等式即可解决:

\Gamma_{1}=\Gamma_{2}

即可得到:

\frac{p_{1}}{\sqrt{T_{1}}}=\frac{p_{2}}{\sqrt{T_{2}}}

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布揭示了对于不同的分子的分布规律。

n_{1}=n_{2}e^{-\frac{\epsilon_{1}-\epsilon_{2}}{kT}}

在一些特殊的情况中玻尔兹曼分布可以被改写为更简单的形式,例如:

在重力场中:

n_{z}=n_{0}e^{-\frac{mgz}{kT}}

在旋转体中:

n_{r}=n_{0}e^{-\frac{\frac{-m^{2}\omega^{2}r^2}{2}}{kT}}

在玻尔兹曼公式中,温度 T 是被允许取负值的,尽管这看起来不太科学。

能量均分定理

能量均分定理提供了了正确计算每个分子平均能量的方法。每个分子的平均能量应该由三部分组成:

  • 平动能量
  • 转动能量
  • 振动能量

这里另外有一个概念:自由度。这是力学中的概念,一般来说每种分子在上述的平动、转动、振动中有固定的自由度。

能量均分定理指出,每个分子每个自由度的能量均为 kT/2 (振动自由度除外,它的每个自由度能量为 kT)。可以用下面的式子来表示:

\overline{\epsilon}=(t+r+2v)\frac{1}{2}kT

其中 t 为平动自由度,r 为转动自由度,v 为振动自由度。

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