电磁学学习笔记(一)

电磁学入门的第一个重要定理就是高斯定理,它提供了十分便利的方法来求得各种带电物体周围的电场强度。高斯定理的内容如下:

\Phi_{E}=\oiint{\vec{E}}\,d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\sum_{i}q_{i}

这个公式展现了带电物体外部的场强与面积、带电情况之间的关系。当然,在实际过程中,这个公式基本是“无法使用”的,但我们可以将其应用于规则的物体,并探究其规律。不考虑任何矢量的属性,仅计算大小,且物体表面处处规律,我们一般只需用以下公式:

ES=\frac{q}{\varepsilon_{0}}

首先我们自然是要先研究最简单的情况,即此定理在球体中的应用,球体分为两种:实心球体和空心球体,且高斯定理不仅可以用来研究球体的外部场强,还可以用来研究球体的内部场强。关于此定理应用合法性的问题已经在教科书中作了详尽的解释,这里我们直接应用。

对于实心均匀带点球体

球体外部电场

对于球体外部的点P,选定该点所位于的与带电球体同心的球面,即可将该球面作为一个高斯面,高斯面内部所带电荷即为带电球体所带的总电荷。

根据高斯定理有:

4\pi r^{2}E=\frac{q}{\varepsilon_{0}}

其中q为带电球体总带电量,r为点P到带电球体球心的距离。

即可得

E=\frac{q}{4\pi \varepsilon_{0}r^{2}}

注意到这里E的表达式与用库仑定律计算得的场强表达式一致,也就是说对于均匀带电球体,其外部的场强与将其所有电荷置于其球心作为点电荷看待一致。

球体内部电场

对于球体内部电场,其分析方法与外部基本一致,只是需要注意,在作出球体内部一点P与球心同心的球面时,球面外部电荷对P点的电场贡献为0,只需考虑球面内部所带电荷,因此我们需要将原来的q作一定的变换,即:

q^{\prime}=\frac{r^{3}}{R^{3}}q

其中q为带电球体总带电量,r为点P到带电球体球心的距离,R为球体半径。

将其代入上面求到的结果,即可得到:

E=\frac{r^{3}}{R^{3}}\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}=\frac{qr}{4\pi\varepsilon_{0}R^{3}}

也就是说,在球体内部,场强E是于所在点处距离球心的距离时成正比的。

对于实心不均匀带点球体

对于这种一般是命题者故意为了加大试题难度设计的,将q再进行替换即可。

q^{\prime}=\oiiint{q}dV

一般来说试题会设计为电荷密度均匀增加或减少,不然数学运算就会变得十分繁琐。

对于空心带电球壳

同样,与实心带电球体分析方法一致,但是值得注意的是对于球壳,我们一般认定其厚度为0,则球体内部没有任何电荷,因此在球体内部就始终有:

E=0

球体外部电场规律则和实心带电球体一致。

对于无限长带电细棒

第一步,当然是确定高斯面,我们可以在导线外一点P作以细棒为轴线,高为l(l可以为任意值)的圆柱体,由于导线无限长,可以证明圆柱体上下底场强为零,也就是说,P点只存在径向向外的电场(其实初中就学过这一点)。圆柱体之中包含的导线所带电荷数即为公式中的q。运用高斯定理:

2\pi rlE=\frac{q}{\varepsilon_{0}}

为了更能体现这种情况下的特殊性质而不是得出电场强度与取的圆柱体高度有关的荒谬结论,我们可以用线密度来表示电荷即:

q=\eta_{e}l

经过化简即得:

E=\frac{\eta_{e}}{2\pi\varepsilon_{0}r}

对于无限长带电平面

对于平面,我们就要转换一下思路了,我们不必使用什么东西将其“笼罩”其中,而是可以用什么东西横穿它。没错,我们继续使用圆柱体,这次是以P点作为圆柱上下底面上一点,作垂直于平面的直线为轴穿过平面,研究圆柱上下底面即可。

与细棒相似,我们这里使用面密度来代表平面的带电状况,运用高斯定理,有:

2ES=\frac{\sigma_{e}S}{\varepsilon_{0}}

其中S为圆柱横截面积(或是上下底面的面积)。则有:

E= \frac{\sigma_{e}}{2\varepsilon_{0}}

其他情况

当然,这些都是最为简单的情况,还有很多其他情况,比如厚板内部等等。这些通常不是像这样一下子就能够得出结果的,但分析的方法都是一致的,即:

  • 分析各个方向可能产生的场强
  • 取定合理的易于计算的高斯面
  • 根据高斯定理解得符合高斯定理部分的场强
  • 叠加其他真实存在的场强

终极整理

场强

点电荷
E=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}
无限长直线
 E=\frac{\eta}{2\pi \varepsilon_0 r} 
圆环(轴线,距圆心x)
E=\frac{qx}{4\pi \varepsilon_0 (x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}
无限大平板
E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}

电势

点电荷
 U=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}
圆环(轴线,距圆心x)
E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}
球壳
U=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r} (r>R)
U=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R} (r < R)

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